Az Újpesti Dózsa ifjúsági csapatában kezdte pályafutását. A saját nevelésű játékos 18 évesen került az első csapathoz, és másfél évtized alatt 408 bajnoki mérkőzésen, 210 góllal járult hozzá a sikerekhez.

Az 1960-as, 70-es években sorozatban nyert bajnoki címet csapatával, megszakítás nélkül 7 alkalommal. Háromszor lett gólkirály utolsó újpesti idényeiben, két évente (1976, 1978, 1980).
Az Újpesti Dózsa csatársorának meghatározó tagja, a második legjobb európai góllövőnek járó Ezüstcipő nyertese 1979–1980-ban.

1968. és 83. között 92 alkalommal szerepelt a válogatottban, ahol 24 gólt szerzett. A válogatottságot tekintve Bozsik József mögött a második, míg a rúgott gólokat tekintve a 16. az örökranglistán. 1968-ban, Mexikóvárosban olimpiai aranyérmet szerzett a csapattal. Kétszer szerepelt világbajnokságon: 1978-ban Argentínában, 1982-ben Spanyolországban. Ez utóbbi volt válogatott pályafutásának vége. A Salvador elleni 10-1-es győzelemből 2 góllal vette ki a részét. A csoportból való továbbjutást eldöntő mérkőzésen Belgium ellen, 1-0-s magyar vezetésnél a belga kapus, Jean-Marie Pfaff legázolta a kiugró Fazekast. A kapus büntetlenül megúszta tettét és később egyenlítettek, így ők jutottak tovább. 1983. március 27-én a Luxemburg ellen Eb-selejtezőn (6-2) búcsúzott hivatalosan a válogatottól.

Fazekas László Bálint László után, a második olyan magyar játékos volt (a II. világháború utáni időszakban), aki engedéllyel mehetett külföldre játszani. Az akkori párt- illetve labdarúgóvezetés az érdemeire való tekintettel 1980-ban adta meg neki is a lehetőségét, ekkor már 33 éves volt. Négy éven át a belga Royal Antwerpen csatára volt. Itt, mint minden idők három legjobb antwerpeni játékosa közt tartják számon. Az aktív labdarúgást a St. Truiden csapatában fejezte be 1985-ben. A belga élvonalban összesen 105 mérkőzésen 34 gólt szerzett.

Edzőként csak külföldön, Belgiumban dolgozott a pályafutása során, bár neve többször felmerült az Újpest és a válogatott élén, de komoly ajánlattal sohasem keresték meg őt. 1994 és 1995 a válogatott pályaedzője volt Mészöly Kálmán mellett, akivel először együtt játszott a válogatottban, majd Mészöly első szövetségi korszaka idején még tagja is volt a válogatottnak.

Ma Merksem Schotenben, Antwerpen egyik külvárosában él. Három felnőtt lánya Lili, Éva és Karolin szintén Belgiumban él. Jelenleg sporttal kapcsolatos reklámokkal foglalkozik.